正規分布の差の再現性

独立な確率変数X，Yがそれぞれ確率分布PX(x), PY(y)に従うとします．

各確率変数の和，X+Yが従う確率分布をPX+Y(z)とする 確率P(X+Y=z)を考えると，

　X-Y=z

となるのは，

　X=x, Y=z-x

としたとき，両者の差がｚとなるすべての組み合わせとなります．

XはPX(x)，YはPY(z-x)に従うので，両者が同時に起こる確率は，PX(x)PY(z-x) です．

\( \Large P_{X\color{red}{-}Y} (z) = \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } P_{X,Y} (t,\color{red}{t-z}) dt 　\)

X，Yがそれぞれ独立であると仮定したので，\( \Large P_{X,Y} (z) = P_X(x) P_Y (y) 　\)　が成立します．したがって，

\( \Large P_{X\color{red}{-}Y} (z) = \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } P_{X} (t) P_Y(z-t) dt 　\)

となります．それぞれが正規分布に従うので，

\( \Large P_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_X^2}} exp \left[- \frac{(x-\mu_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right] \)

\( \Large P_{Y} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_Y^2}} exp \left[- \frac{(x-\mu_Y)^2}{2 \sigma_Y^2} \right] \)

となりますので，代入すると，

\( \Large \begin{eqnarray} P_{X\color{red}{-}Y} (z) &=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_X^2}} exp \left[- \frac{(t-\mu_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right]
\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_Y^2}} exp \left[- \frac{(\color{red}{t-z}-\mu_Y)^2}{2 \sigma_Y^2} \right]dt 　\\
&=& \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } exp \left[- \frac{(t-\mu_X)^2}{2 \sigma_X^2} - \frac{(\color{red}{t-z}-\mu_Y)^2}{2 \sigma_Y^2} \right]dt 　\\
\end{eqnarray} \)

と表すことができます．

指数部分は，

\( \begin{eqnarray} && - \frac{(t-\mu_X)^2}{2 \sigma_X^2} - \frac{(\color{red}{t-z}-\mu_Y)^2}{2 \sigma_Y^2} \\
&=& - \frac{\sigma_Y^2(t^2-2 \mu_X t+ \mu_X^2) + \sigma_X^2 (z^2+t^2+\mu_Y^2 \color{red}{-} 2 \mu_Y t-2zt \color{red}{+} 2 \mu_Y z)}{2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2} \\
&=& - \frac{(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2) \color{red}{t^2}-2(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y) \color{red}{t} + \sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 z^2 + \sigma_X^2 \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \mu_Y z} {2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2}\\
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left\{ \color{red}{t^2}-\frac{2(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \color{red}{t} + \frac{ \sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 z^2 + \sigma_X^2 \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \mu_Y z} { \sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\} \\
\end{eqnarray} \)

\( \Large t^2 + 2b t + c = (t+b)^2 - b^2 +c \)より，

\( \begin{eqnarray}
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2}
\left\{ \color{red}{t^2}-\frac{2(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \color{red}{t} + \left[ \frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right]^2 - \left[ \frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right]^2+ \frac{ \sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 z^2 + \sigma_X^2 \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \mu_Y z} { \sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\} \\
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2}
\left\{ \left[ \color{red}{t}-\frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right]^2 - \left[ \frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right]^2+ \frac{ \sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 z^2 + \sigma_X^2 \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \mu_Y z} { \sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\} \\
\end{eqnarray} \)

第二，三項は，

\( \begin{eqnarray}
&& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2}
\left\{ - \left[ \frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right]^2+ \frac{ \sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 z^2 + \sigma_X^2 \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \mu_Y z} { \sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\} \\
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2}
\left\{ - \frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)^2}{(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)^2} + \frac{ (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)(\sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 z^2 + \sigma_X^2 \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \mu_Y z)} { (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)^2} \right\} \\
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left\{ \begin {array}{1}
- \frac{\color{cyan}{\sigma_Y^4 \mu_X^2} + \color{red}{\sigma_X^4 z^2} +\color{green}{\sigma_X^4 \mu_Y^2} + 2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2 \mu_X z \color{red}{+}2\sigma_X^2 \sigma_Y^2 \mu_X \mu_Y \color{blue}{\color{red}{+}2\sigma_X^4 \mu_Y z}}{(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)^2}\\
\frac{ \sigma_X^2\sigma_Y^2 \mu_X^2 + \color{red}{\sigma_X^4 z^2} + \color{green}{\sigma_X^4 \mu_Y^2} \color{red}{+} \color{blue}{2 \sigma_X^4 \mu_Y z}+\color{cyan}{\sigma_Y^4 \mu_X^2} + \sigma_X^2 \sigma_Y^2z^2 + \sigma_X^2 \sigma_Y^2\mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2\mu_Y z} { (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)^2}
\end{array} \right\} \\
\end{eqnarray} \)

色の部分がキャンセルされるので，

\( \begin{eqnarray}
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left\{
\frac{ -2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2 \mu_X z \color{red}{-} 2\sigma_X^2 \sigma_Y^2 \mu_X \mu_Y + \sigma_X^2\sigma_Y^2 \mu_X^2 + \sigma_X^2 \sigma_Y^2z^2 + \sigma_X^2 \sigma_Y^2\mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2\mu_Y z}{(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)^2}
\right\} \\
&=& - \frac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \sigma_X^2 \sigma_Y^2 \left\{
\frac{ -2 \mu_X z + 2 \mu_X \mu_Y + \mu_X^2 + z^2 + \mu_Y^2 \color{red}{+} 2 \mu_Y z}{(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)^2}
\right\} \\
&=& - \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \\
\end{eqnarray} \)

と簡単になる．　

指数部分に戻すと，

\( \begin{eqnarray}
&& -\frac{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left[ \color{red}{t}-\frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right]^2
- \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \\
\end{eqnarray} \)

したがって，

\( \begin{eqnarray} P_{X+Y} (z)
&=& \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } exp \left[-\frac{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left\{ \color{red}{t}-\frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z - \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\}^2
- \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \right]dt 　\\
&=& \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} exp \left[- \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \right] \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } exp \left[-\frac{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left\{ \color{red}{t}-\frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\}^2
\right]dt 　\\
\end{eqnarray} \)

積分項目は，

\( \begin{eqnarray} && \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } exp \left[-\frac{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}{2\sigma_X^2 \sigma_Y^2} \left\{ \color{red}{t}-\frac{(\sigma_Y^2 \mu_X + \sigma_X^2 z \color{red}{+} \sigma_X^2 \mu_Y)}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right\}^2
\right]dt 　\\
&=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } exp \left[-a\{ t-b\}^2 \right]dt \\
\end{eqnarray} \)

と簡単に記載することができ，

\( \Large t-b = w　\)とすると，

\( \Large dt = dw　\)

\( \begin{eqnarray}
&=& \displaystyle \int_{-\infty}^{ \infty } exp \left[-a w^2 \right]dt \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \\
\end{eqnarray} \)

したがって，

\( \begin{eqnarray} P_{X+Y} (z)
&=& \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} exp \left[- \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \right]
\sqrt{ \frac{\pi (2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2)}{ \sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}　\\
&=& \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}} \sqrt{ \frac{\pi (2 \sigma_X^2 \sigma_Y^2)}{ \sigma_X^2 + \sigma_Y^2}} exp \left[- \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \right] 　\\
&=& \frac{1}{ \sqrt{2 \pi(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)}} exp \left[- \frac{ \{ z-(\mu_X \color{red}{-} \mu_Y) \}^2}{2(\sigma_X^2 + \sigma_Y^2)} \right] 　\\
\end{eqnarray} \)

これは，
　平均：\( \Large \mu_X \color{red}{-} \mu_Y　\)
　分散：\( \Large \sigma_X^2 + \sigma_Y^2　\)
の正規分布である．